【高校数学】知られざる受験数学の奥義
⚫ 多項式 (p.5)
➢ 組み立て除法
⚫ 不等式 (p.13)
➢ 𝐴 =
1
𝑛
(𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛)のとき𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ≦ 𝐴
𝑛の証明
➢ 一般の相加・相乗平均の不等式の証明
➢ シュワルツの不等式 (一般形，積分，ベクトル)
⚫ 論理 (p.22)
➢ アリバイの理論
⚫ 場合の数 (p.26)
➢ 重複組合せ
➢ カタラン数
⚫ 幾何 (p.37)
➢ 方べきの定理の代数的表現
➢ オイラー線 (変換)
➢ 七五三の三角形
⚫ 軌跡と領域 (p.43)
➢ ファクシミリ論法
⚫ 図形と方程式 (p.50)
⚫ 整数問題 (p.53)
➢ 剰余類
➢ 合同式
➢ ユークリッドの互除法
➢ 2,3, ⋯ , 11,13の倍数の見つけ方
➢ 除法の原理
➢ 百五減算
➢ 差分と整式
➢ 3次方程式が少なくとも1つの整数解を持つ
➢ プラーマグプタの恒等式
➢ ベル方程式
➢ 階乗に素因数はいくつあるか
➢ フィボナッチ数列が10の倍数となるときのn
➢ イデアル
➢ 互いに素に関する有名定理
➢ フェルマーの小定理
➢ 部屋割り論法
⚫ 微分 (p.89)
➢ テイラー展開と近似式
➢ ロルの定理
➢ ニュートンの近似式
➢ (𝑓
𝛼𝑔
𝛽/ℎ
𝛾
)′の公式
➢ ライプニッツの公式
➢ eに関する別定義とその周辺
➢ 懸垂線
⚫ グラフの概形 〈微分に頼らない〉 (p.113)
➢ 2次分数関数のグラフ
➢ 重ね合わせ
➢ 𝑦
𝑚 = 𝑥
𝑛のグラフ
➢ テイラー展開
➢ 勾配関数
➢ デジタルにグラフを描く
➢ 凹凸の5つの定義と同値性
➢ 𝑦 = (𝑥 − 𝛼)
𝑝𝑔(𝑥)の 𝑥 ≒ 𝛼 におけるグラフ
➢ 𝑓(𝑥)の絶対値，平方，平方根，逆数のグラフ
➢ 𝑥 sin 1
𝑥
,
sin 𝑥
𝑥
, sin 1
𝑥
のグラフ
⚫ 積分 (p.144)
➢ 分数関数の積分の仕方
➢ 置換積分
➢ 台形の面積から発想する
➢ 階段関数と不等式
➢ log 2について (級数)
➢ スターリングの式
➢ はみ出し削りと無限小
⚫ ベクトル (p.164)
➢ 正射影ベクトル
➢ 重心座標
➢ 内積の展開式の図形的解釈
➢ 内積の有名問題
➢ アポロ二ウスの円
⚫ 数列 (p.197)
➢ 等比数列の和 (図解)
➢ 2項間の漸化式の図形的解釈
➢ σ𝑘 𝑘
2
∙ 2
𝑘
➢ 群数列
➢ 累積帰納法と平方の和の公式
➢ 完全順列の一般項
➢ 分数の漸化式
⚫ 2次曲線の接線 (p.231)
⚫ 極限 (p.235)
⚫ 微積分の応用 (p.242)
➢ 最小2乗法
➢ シンプソンの公式
⚫ 微積分・極限 発展編A (p.260)
⚫ 微積分・極限 発展編B (p.276)
➢ 多変数関数の最大値 (偏微分)
⚫ 行列 (p.312)
➢ 繰り返し法
➢ ケーリー・ハミルトンの定理の誤用
➢ 固有ベクトルと1次独立
➢ 𝐴の固有値と固有ベクトル，対角化
➢ 三角化定理
➢ 直和分解
➢ 行列が交換可能な条件
➢ 𝑦 = 𝑚𝑥 に関する対称移動が1次変換の証明，その行列
➢ 2つの固有ベクトルが垂直ならば対称行列
➢ 転置行列の性質
➢ 冪零行列と1次変換
➢ 冪等写像
➢ 正射影
➢ 原点以外の不動点を持つ1次変換と不動直線
➢ トレース・行列式の性質
⚫ その他 (p.362)
➢ オイラーの公式の証明
➢ 速算 (基本形)
➢ 直角双曲線𝑥𝑦 = 𝑎の性質
➢ 累積帰納法